矩阵行业定义及分类

　　矩阵行业定义是什么？矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。下文是中国报告大厅小编整理的矩阵行业定义及分类。

　　矩阵行业定义

　　矩阵：构成动态平衡的循环体系。

　　例子：可以把能量循环体系视为矩阵。聚能/平衡效应。人体可以视为矩阵，地球可以比喻视为矩阵，宇宙也比喻的视为矩阵

　　在数学中，矩阵（Matrix）是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

　　矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。更多最新矩阵行业分析信息请查阅中国报告大厅发布的《2015-2020年中国矩阵行业研究报告》。

　　矩阵分类

　　环上的

　　若用一个环R去代替数域F，则可定义R上的矩阵及其运算，而且上述有关数域F上的内容，绝大部分都可以推广到R上，尤其当R是一个有单位元素1的交换环，甚至是一个域时，则上述的全部内容可以推广到R上。R是一个域或复数域F上的多项式环F【λ】的情形最为有用。

　　若A=（αij）是复数域F上的一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，则A、I以及λI-A都可视为多项式环F【λ】上的n阶矩阵 称为A的特征矩阵。其行列式|λI-A|是F【λ】中的一个首项系数为1的n次多项（－1）nb0，其中bn-1恰为A的迹数，b0恰为|A|，？（λ）=|λI-A|称为A的特征多项式，其根称为A的特征值或特征根。λ0为A的一个特征值，必要而且只要有F上非零的n元列向量ξ即n行1列的矩阵，使λ0ξ=Aξ。此ξ称为A的属于λ0的一个特征向量。A的属于不同特征值的特征向量，恒在F上线性无关。

　　对于F【λ】中任意一个m次多项式，可以用F上任意一个n阶矩阵A去代替λ而引出一个n阶矩，其中I为n阶单位矩阵。所谓凯莱－哈密顿定理，即如果？（λ）是F上n阶矩阵A的特征多项式时，那么恒有？（A）=On，其中On为n阶零矩阵。由此可知，对于F上任意n阶矩阵A，必存在唯一的首项系数为1的多项式φ（λ）使φ（A）=On。对于任意的多项式g（λ），g（A）=On必要而且只要φ（λ）|g（λ）（即φ（λ）能整除g（λ））。此φ（λ）就称为A的最小多项式。

　　等价

　　对矩阵A的行与列或仅对行或仅对列施以若干次初等变换而得到矩阵B，称为A等价于B，记为A≌B。。矩阵的等价是在讨论一个向量空间到另一个向量空间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。所谓矩阵的初等变换，是指以下的任何一种变换：①用F中任意的一个不为零的元素α去乘矩阵的第i行（列）；②把矩阵的第i行（列）的b倍加于第j行（列），其中b为F中任意元素；③互换矩阵的第i与第j行（列），并分别称为第一、第二、第三种初等变换。

　　对F上的单位矩阵I进行一次初等变换后所得出的矩阵，称为初等矩阵。一种初等变换对应于一种初等矩阵。对矩阵A的行施以某种初等变换的结果，恰等于用相应的初等矩阵去左乘A;对A的列施以某种初等变换的结果，恰等于用相应的初等矩阵去右乘A。初等矩阵恒为可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵，因此初等矩阵的积恒为非奇异矩阵。由此可知，等价矩阵的秩数相同，或者说初等变换不改变矩阵的秩数。于是，经若干次初等变换后，必可将每个秩数为r的矩阵的左上角化为r阶单位矩阵，而其他位置都化为0。n阶非奇异矩阵恒等价于n阶单位矩阵，恒可表为若干个初等矩阵之积。因此，A≌B必要而且只要有非奇异矩阵P、Q使PAQ=B。

　　多项式环F【λ】上的矩，简称为λ矩阵。在F【λ】上也可定义行列式。A（λ）的秩数定义为A（λ）的最大非零子式的阶数。对λ矩阵也可进行初等变换，在第一种初等变换中只能使用F中非零的α，而不能用F【λ】中非零的？（λ）;第二种初等变换中则可用F【λ】中任意的g（λ）去代替b。也可以定义可逆性，对于λ矩阵P（λ）若有λ矩阵K（λ）使P（λ）K（λ）=K（λ）P（λ）=I，则称λ矩阵P（λ）是可逆的，λ矩阵K（λ）则称为P（λ）的逆矩阵。也可以定义λ矩阵的等价。秩数为r的λ矩阵A（λ）必等价于所谓A（λ）的法式即λ矩阵： ，

　　这里的诸φi（λ）均由A（λ）惟一确定，且φ1（λ）|φ2（λ）|…|φr（λ），首项系数均为1。

　　由此可知，一个n阶λ矩阵P（λ）是可逆的，必要而且只要P（λ）为若干个与λ矩阵的初等变换相应的初等矩阵的积；必要而且只要其行列式为F中的非零元素。两个λ矩阵A（λ）m×n，B（λ）m×n是等价的，必要而且只要有可逆λ矩阵P（λ）、Q（λ）使P（λ）A（λ）Q（λ）=B（λ）。A（λ）的法式中的诸多项式φi（λ），都称为A（λ）的不变因子，且可作如下分解： 式中诸ej（λ）是F【λ】中首项系数为1的互不相同的既约多项式；nij为非负整数，且最后一行中的n1r，n2r，…，nkr均非零，并。这些因，除去指数nij=0者，都称为A（λ）的初等因子 必要而且只要它们的法式相同；必要而且只要它们的全部不变因子一致；必要而且只要它们的秩数与全部初等因子一致。

　　相似

　　对于域F上两个n阶矩阵A、B，若有非奇异矩阵P，使P-1AP=B， 则称为A相似于B，记为A～B。矩阵之间的这个关系，具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的相似是在讨论一个向量空间到自身之间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。域F上两个n阶矩阵A与B相似，必要而且只要特征矩阵（λI-A）与（λI-B）在F【λ】上等价。λI-A的不变因子与初等因子，分别称为A的不变因子与初等因子。特征矩阵λI-A的秩数，即A的阶数n。因此，在F上的两个n阶矩阵A与B相似，必要而且只要它们的初等因子一致。当F是一个代数封闭域时，F【λ】中的首项系数为1的既约多项式只能是形如（λ-α）的一次式，所以此时F上的一个n阶矩阵A的全部初等因子必为如下的一些多项式： 式中α1，α2，…，αk互不相同，k≥1；所有指数Л1，Л2，…，Лr，…；n1，n2，…，nt之和为n。对于每个形的多项式，可以惟一确定一个所谓若尔当小块，即h阶矩阵： ，

　　它只有一个初等因子，而且就。设上述n阶矩阵A的全部初等因子的若尔当小块分别是J1，J2，…，Jυ，v=r+s+…+t，用这v个小块来合成一个n阶对角分块矩阵。 于是A～J，而且除诸小块的次序外，J是由A所惟一确定的。J称为A的若尔当标准形式。由此可知，只要找出A的全部初等因子即可求得A的若尔当标准形式。要找出A的全部初等因子有一个较简捷的方法，即不必把λI-A化成法式，而先把λI-A通过初等变换化成对角矩阵，其对角线上的全部多项式不一定恰是A的全部不变因子，只要将其中每个非常数多项式的首项系数化为 1，再分解因子，即可象从不变因子求出初等因子那样得出A的全部初等因子。

　　设N是任意域F上的一个方阵，若有正整数m使Nm=0，则N称为一个幂零矩阵。例如，把上述若尔当小块中的α全换成0得出的h阶矩阵N，就是一个幂零矩阵，因为Nh=0。

　　若F上的方阵K具有性质K2=K，则称K为一个幂等矩阵。例如单位矩阵就是一个幂等矩阵。由直接计算可知，对F上任意多项式？（λ），有。因此，与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵；与幂等矩阵相似的矩阵仍为幂等矩阵。

　　实数域上一个非奇异矩阵T若具有性质T┡=T-1（T┡是T 的转置矩阵），则称为一个正交矩阵。例如解析几何里直角坐标旋转公式的系数矩阵就是正交矩阵。一个正交矩阵的转置矩阵（即其逆矩阵）仍为正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的积仍为正交矩阵。实数域上任意一个对称矩阵A，恒可通过适当的正交矩阵T而相似于对角矩阵D，即D=T-1AT=T┡AT，且D 的对角线上的实数就是A的全部特征根。

　　复数域上的一个非奇异矩阵U若具有性质ū┡=U-1或U┡=（ū）-1（ū ┡为U 的共轭转置矩阵），就称为一个酉矩阵。一个酉矩阵的共轭矩阵仍为酉矩阵；一个酉矩阵的转置矩阵仍为酉矩阵;一个酉矩阵的共轭转置矩阵（即其逆矩阵）仍为酉矩阵；两个同阶的酉矩阵的积仍为酉矩阵。复数域上凡满足的矩阵A，称为埃尔米特矩阵。实对称矩阵作为复数域上的矩阵时，就是埃尔米特矩阵。任意一个埃尔米特矩阵A，恒可通过适当的酉矩阵U 而相似于实对角矩阵D，即D =U┡Aū，且D 的对角线元素恰为A 的全部特征根。一个正交矩阵作为复数域上的矩阵时，也是一个酉矩阵。

　　合同

　　当矩阵A经过若干套初等变换而化为矩阵B时，则称为A合同于B，记。所以它是一种等价关系。矩阵的合同是在讨论用（对称）矩阵表示二次型的问题中产生的。

　　所谓一套初等变换，是指将某一种初等变换首先对一个矩阵的第i列（行）施行而得一矩阵，然后再对此所得矩阵的第i行（列）施行又得一矩阵。第一、二、三套初等交换，分别由第一、二、三种初等变换组成。

　　两个n阶矩阵A与B合同，必要而且只要有非奇异矩阵P使P┡AP=B。与对称矩阵合同之矩阵仍为对称矩阵。每个秩数为r的实对称矩阵A恒合同于一个对角矩阵，其对角线上有p个1与q个-1；其他的对角线元素均为0，这里p≥0，q≥0，p+q=r，而且p与q都是由A所惟一确定的。实对称矩阵的特征根恒为实数。实对称矩阵A能合同于而又相似于一个对角矩阵，其对角线元素恰为A的全部特征根。与单位矩阵合同的实对称矩阵，称为正定矩阵。对于n阶实对称矩阵A，以下命题是等价的：A为正定矩阵；有非奇异矩阵Q；A的所有主子式均为正实数；A的所有i阶主子式之和Si均为正实数（i=1，A所相应的二次型为正定型。

　　对一个复数方阵施以第一套初等变换，就是用不为零的α乘i行，再用ā乘第i列；施以第二套初等变换，就是把第i行的b倍加于第j行，再用第i列的姼倍加于第j列；施以第三套初等变换仍然是互换第i和第j两行，再互换第i和第j两列。若对复数方阵A施以上述的若干套初等变换而得方阵B，则称为A能h合同于B。矩阵的h合同关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。两个n阶复数矩阵A与B是h合同的，必要而且只要有非奇异矩阵P使P′A圴 =B。与埃尔米特矩阵是h合同的矩阵仍为埃尔米特矩阵。每个埃尔米特矩阵A恒h合同于一个对角矩阵，其对角线上有p个1与q个－1，其他元素均为0，这里p≥0，q≥0，p+q为A的秩数，而且p、q均是由A所惟一确定的。埃尔米特矩阵的特征根恒为实数。埃尔米特矩阵A不仅恒能h合同于一个对角矩阵，而且必能相似于一个对角矩阵，此时其对角线元素恰为A的全部特征根。与单位矩阵是h合同的埃尔米特矩阵，称为正定埃尔米特矩阵。对于一个n阶埃尔米特矩阵A，以下命题是等价的：A为正定埃尔米特矩阵；有非奇异矩阵Q;A的所有主子式为正实数;A的所有i阶主子式之和Si，均为正实数（i=1，;A所相应的埃尔米特二次型是正定埃尔米特二次型。复数域上的一个方阵A若满足A凴′=凴′A（即A与凴′可交换）就称A为正规矩阵。实对称矩阵、埃尔米特矩阵、正交矩阵与酉矩阵都是正规矩阵。每个复数方阵A均可表为A=h1+ih2，其中h1与h2均为由A所惟一确定的埃尔米特矩阵，此时A为正规矩阵必要而且只要h1与h2可交换。正规矩阵A与凴′有相同的特征向量。一个复数方阵A为正规矩阵，必要而且只要有酉矩阵U使U-1AU 为对角矩阵。

　　矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在19世纪。A.凯莱在1858年引进矩阵为一个正方形的排列表，且能进行加法与乘法运算，于是人们就把A.凯莱作为矩阵论的创始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年与F.G.M.艾森斯坦在1844～1852 年就早已先后把一个线性替换（即线性变换）的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示。艾森斯坦还强调乘法的次序的重要性，指出ST与TS未必相同。与艾森斯坦同时的C.埃尔米特以及稍后的E.N.拉盖尔和F.G.弗罗贝尼乌斯也都先后发展了线性替换的符号代数。弗罗贝尼乌斯较丰富的工作于 1877年发表在最早的数学杂志之一的《克雷尔杂志》上。矩阵的相似标准形，矩阵的合同标准形，矩阵的求逆，矩阵的特征值与广义特征值等是矩阵论的经典内容；矩阵方程论，矩阵分解论，广义逆矩阵等是矩阵论的现代内容。矩阵及其理论在现代科学技术的各个领域都有广泛的应用。

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